Espaço Vetorial

1)Conceituar: a)Subespaço vetorial. . Resp. Um conjunto não vazio V, subconjunto de um espaço Vetorial W é subespaço vetorial de W se são válidas as duas condições: i)Dados u, vЄV, tem-se (u+v)ЄV; ii)Dados uЄV e αЄR, tem-se αu ЄV b)Combinação linear Um vetor v é combinação linear dos vetores v1, v2, …, vn se existem reais tais que v = a1v1 + a2v2 + … + anvn . c)Vetores LI – linearmente independentes Um conjunto de vetores {v1, v2, …, vn} é LI ou Linearmente Independente se a equação a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0 admite somente a solução nula. 2)Verificar se o conjunto S = {(x, y, z) | x = 4y, z = 0} é um subespaço vetorial de R3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Resp.: Sejam os vetores de S: v1 = (4y1; y1; 0) e v2 = (4y2; y2; 0) e número α real: i)v1+ v2 = (4y1; y1; 0) + (4y2; y2; 0) = (4y1+ 4y2; y1+ y2; 0) = (4(y1+y2); y1+ y2; 0) ЄR3 ii)αv1 = α(4y1; y1; 0) = (4αy1; α y1; 0) ЄR3. Logo o conjunto S acima é subespaço vetorial de R3. 3)Determinar a dimensão e criar uma base para os espaços vetoriais: a) {(x, y, z) | y = 2x} Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto: (x; 2x; z). tem-se: Dimensão = 2 (número de variáveis do vetor genérico). Base: já que a dimensão é 2, então uma base desse espaço vetorial tem 2 vetores. Então cria-se dois vetores particulares a partir do genérico: Para x = 1 e z = 2 ==> v1 = (1, 2, 2). Para x = 4 e z = 5 ==> v2 = (4; 8, 5) E uma base é B = {v1; v2} = {(1; 2; 2), (4; 8; 5)} b){(x, y, z) | x = 3y e z = -y} De forma semelhante, tem-se: Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto: (3y; y; -y). tem-se: Dimensão = 1 (número de variáveis do vetor genérico). Base: já que a dimensão é 1, então uma base desse espaço vetorial tem 1 vetor. Então cria-se um vetor particular a partir do genérico: Para y = 1 ==> v = (3; 1; -1) E uma base é B = {v} = {(3; 1; -1)} 4)Mostrar que S = {(x, y; z) | y = x +3 e z = 0} não é um subespaço vetorial de R3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Resp.: Sejam os vetores de S: v1 = (x1; x1+3; 0) e v2 = (x2; x2+3; 0). Tem-se: i)v1+v2 = (x1; x1+3; 0) + (x2; x2+3; 0) = (x1+x2; x1+x2+6; 0) S Então o conjunto S acima não é subespaço vetorial de R3. 5)Escrever o vetor w = (7, –11, 2) como combinação linear dos vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4). Resp.: Assim: a(2, -3, 2) + b(-1, 2, 4) = (7, -11, 2) ==> (2a – b, -3a+2b, 2a + 4b) = (7, -11, 2) O que fornece o sistema linear cuja resolução fornece: Então w = 3u – v 6)Conceituar: a)Igualdade de matrizes. Resp. Duas matrizes de mesma ordem são iguais se os termos de mesma posição são iguais. Ou: As matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn são iguais se aij = bij. b)Matriz transposta. Resp. A matriz At é transposta da matriz A = (aij)mxn se At = (aji)nxm; isto é, as colunas de At são respectivamente as linhas da matriz A. c)Matriz identidade. Resp. Matriz Identidade é a matriz quadrada cujos termos da diagonal principal são iguais a 1e os outros termos são nulos. Ou: Matriz identidade é a matriz diagonal cujos termos da diagonal principal são iguais a 1. 5)Calcular os determinantes: 6)Em relação a cada sistema linear a seguir, pede-se classificar, resolver, fornecer a solução e determinar o grau de liberdade se for o caso: 10)A seguir estão indicadas operações entre matrizes. Pede-se efetuar as operações possíveis e justificar aquelas que não podem ser realizadas. 11)Assinalar V(verdadeiro) ou F(falso) nas afirmativas seguintes. ( )a)Só é possível efetuar a adição de matrizes do mesmo tamanho. ( )b)Um subespaço S de um espaço vetorial W é também um espaço vetorial. ( )c)Um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas possui exatamente 3 soluções. ( )d)v = (5; 9) é uma combinação linear de u = (1; 2) e w = (2; 3) pois v = 3u + w. ( )e)Todo sistema linear HOMOGÊNEO é consistente. ( )f)Se A é uma matriz quadrada, o determinante de A é o oposto do determinante de sua transposta. ( )g)O conjunto de vetores {(1; 3), (2; 6)} é LI. ( )h)Só existe o produto de duas matrizes A e B se o no de colunas de A for igual ao no de linhas de B. ( )i)Se duas matrizes são de mesma ordem então elas são iguais. ( )j)Multiplicando-se uma linha de um determinante por um no real, o seu valor não se altera. Resp. a)-V- A condição para se adicionar duas matrizes é que elas sejam do mesmo tamanho. b)-V-Sim, porque em s estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar. c)-F- Conforme a classificação dos sistemas lineares, tem-se: Sistema DETERMINADO —-( tem uma única solução Sistema INDETERMINADO ( tem infinitas soluções Sistema INCONSISTENTE –( não tem solução d)-V-Basta efetuar os cálculos e ver que v = 3u + 1w = 3(1; 2) + 1(2; 3) = (3; 6) + (2; 3) = (5; 9). e)-V- Sim porque todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução nula. f)-F-Uma das propriedades dos determinantes mostra que det(A) = det(At). g)-V-Basta ver que um dos vetores é múltiplo do outro. h)-V- Esta é a condição para que haja o produto das matrizes A e B, isto é, o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz. i)-F- Duas matrizes são iguais se são de MESMA ORDEM e os TERMOS DE MESMO ÍNDICE são iguais. j)-F- Multiplicando-se uma fila (linha ou coluna) de um determinante por um número, o determinante fica multiplicado por este número.