Trigonométria

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS DE 30º, 45º E 60º

Podemos resumir os valores para o seno, co-seno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º em uma única tabela. Tais valores serão usados freqüentemente daqui em diante.


Aplicação
Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um ângulo de inclinação de 60º (ver figura). Determinar a altura do foguete após 4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante.

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Em princípio, Trigonometria é o estudo da relações entre as medidas de ângulos e lados nos triângulos retângulos (trigono = triângulo e metria = medida).

1. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
O triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto, ou seja, mede 90°.

Observe-se o triângulo ABC da figura com  = 90° (reto), e seus ângulos agudos e .

É importante saber que:

a) Em relação ao ângulo , temos:

c é o cateto oposto;

b é o cateto adjacente.

b) Em relação ao ângulo , temos:

b é o cateto oposto;

c é o cateto adjacente.

Seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo
Seja a medida de um ângulo agudo do triângulo acima, temos:

a) Seno do ângulo (sen ):

É a razão entre a medida do cateto oposto a e a medida da hipotenusa, ou seja:

b) Co-seno do ângulo (cos ):

É a razão entre a medida do cateto adjacente a e a medida da hipotenusa, isto é:


Aplicação
Calcular x, dados:

sen = 0,8; cos = 0,6; tg = 0,75

Solução:

Primeiro é preciso decidir qual das três razões trigonométricas dadas convém ao problema.

Observe que a hipotenusa é conhecida e que x é a medida do cateto adjacente a . Como hipotenusa e cateto adjacente são relacionados pelo co-seno, temos:





Fórmulas da Adição

As fórmulas acima são verdadeiras para arcos positivos, cujo a soma pertence ao primeiro quadrante.

Fórmulas da Multiplicação

2. ARCO DUPLO

Usaremos as fórmulas da soma e da subtração de dois arcos para obter as fórmulas do arco duplo.

Aplicação

3. TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO

As fórmulas de adição e subtração de arcos podem ser transformadas em produtos a partir de:


plicação
Transformar em produto a expressão y = sen 40° + sen 30°.

Solução:

m = 40° e n = 30°

Aplicando a forma fatorada de sen m + sen n, temos:


4. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
É toda equação em que figura uma função trigonométrica com arco desconhecido. Chamam-se soluções de uma equação trigonométrica os valores da variável, caso existam, que satisfazem a equação dada.

Exemplos:

a) sen x = – 1

b) cos x = 0
As relações entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são denominadas relações trigonométricas.

Observações:

a) cotg x = co-tangente de x

b) sec x = secante de x

c) cosec x = co-ssecante de x

Aplicação
Simplificar a expressão:

1 – sen x . cos x . tg

Aplicação

Calcular sen 75°.

Solução:

Podemos observar que 75º = 30º + 45º; logo sen 75º = sen (30º + 45º). A partir da fórmula, temos:

sen (30º + 45º) = sen 30º. cos 45º + sen 45º . cos 30º =


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