Equações 2º grau

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0

2) 3 x² + x + 2 = 0

o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1) 4 x² + 6x = 0

2) 3 x² + 9 = 0

3) 2 x² = 0

Resolução de equações completas do 2° grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde Δ=b²-4ac é o discriminante da equação.Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:

1) Δ 0, há duas soluções reais e diferentes

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² – 5 x + 6 = 0

1) Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6

2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.

3) Calcular Δ=(-5)²-4×1×6=25-24=1

4) Escrever a fórmula de Bhaskara:

EXERCÍCIOS

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)

b) 9 x² – 24 x + 16 = 0 (R:4/3)

c) x² – 2 x + 4 = 0 (vazio)

d) 3 x² – 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)

e) 10 x² + 72 x – 64 = 0 (R:-8 e 4/5)

e) 5x² – 3x – 2 = 0

f) x² – 10x + 25 = 0

g) x² – x – 20 = 0

h) x² – 3x -4 = 0

i) x² – 8x + 7 = 0

RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU

1) x² – 5x + 6 = 0 _____(R:2,3)

2) x² – 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)

3) x² + 2x – 8 = 0______ (R:2,-4)

4) x² – 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)

5) 2x² – 8x + 8 = 0_______ (R:2,)

6) x² – 4x – 5 = 0_______ (R:-1, 5)

7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4)

8) -x² + 6x – 5 = 0_______ (R:1,5)

9) 6x² + x – 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2)

10) 3x² – 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)

11) 2x² – 7x = 15 _______(R:5, -3/2)

12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)

13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4)

14) 2x² = -12x – 18 _____(R:-3 )

15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio)

16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)

17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5)

18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)

19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3)

20) 4x² – x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)

21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3)

22) 4 + x ( x – 4) = x _____(R: 1,4)

23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8)

24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)

25) x² – 7x + 12 = 0 _____(R:3,4)

26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)

27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio)

28) x² – 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)

29) -x² – x + 30 = 0 _____(R:-6,5)

30) x² – 6x + 9 = 0 _____(R:3)

31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4)

32) ( x – 5)² = 1_______(R:3,7)

33)( 2x – 4)² = 0_______(R:2)

34) ( x – 3)² = -2x²_______(R:vazio)

35)Na equação 3x² – 12 = 0 as soluções são:

a)0 e 1

b)-1 e 1

c)-2 e 2

d)-3 e 3

e)0 e 4

36) x² + 3x – 28 = 0 (R: -7,4)

37) 3x² – 4x + 2 = 0 (R: vazio)

38) x² – 3 = 4x + 2 (R: -1,5)

PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número.

(R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R:7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número?

(R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS

Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau

1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)

Exemplos:

1) x² – 25 = 0

x² = 25

x = √25

x = 5

logo V= (+5 e -5)

2) 2x² – 18 = 0

2x² = 18

x² = 18/2

x² = 9

x = √9

x = 3

logo V= (-3 e +3)

3) 7x² – 14 = 0

7x² = 14

x² = 14/7

x² = 2

x = √2

logo V = (-√2 e +√2)

4) x²+ 25 = 0

x² = -25

x = √-25

obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² – 49 = 0 (R: -7 e +7)

b) x² = 1 (R: +1 e -1)

c) 2x² – 50 = 0 (R: 5 e -5)

d) 7x² – 7 = 0 (R: 1 e -1)

e) 5x² – 15 = 0 (R: √3 e -√3)

f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)

g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio)

h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )

i) 2x² – 90 = 8 (R: 7 e -7)

j) 4x² – 27 = x² (R:3 e -3)

k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2)

l) 3(x² – 1 ) = 24 (R: 3 e -3)

m) 2(x² – 1) = x² + 7 (R:3 e -3)

n) 5(x² – 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)

o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)

2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos

1) resolver x² – 5x = 0

fatorando x ( x – 5) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5

logo V= (0 e 5)

2) resolver: 3x² – 10x = 0

fatorando: x (3x – 10) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

Tendo também 3x – 10 = 0

3x = 10

x = 10/3

logo V= (0 e 10/3)

Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.

a) x² – 7x = 0 (R: 0 e 7)

b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)

c) 4x² – 9x = 0 (R: 0 e 9/4)

d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)

e) 4x² – 12x = 0 (R: 0 e 3)

f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)

g) x² + x = 0 (R: 0 e -1)

h) 7x² – x = 0 (R: 0 e 1/7)

i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2)

j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)

k) 7x² = -14x (R: 0 e -2)

l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)

2) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3)

b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)

c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5)

d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)

e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5)

f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)

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