Coordenadas do vértice da parábola

Uma função do 2º grau é toda função da forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico da função do 2º grau ou função quadrática é uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para baixo ou para cima, de acordo com o valor do coeficiente a. Se o valor de afor positivo, a parábola apresenta concavidade voltada para cima. Se ocorrer o contrário, ou seja, a for negativo, a concavidade da parábola será voltada para baixo. Esse tipo de função apresenta muita aplicação no estudo de lançamentos oblíquos ou lançamento de projéteis.

Um ponto notável da parábola é o vértice. Esse ponto pode ser o valor máximo assumido pela função ou o valor mínimo, dependendo, também, da concavidade da parábola. Vejamos:

Se a concavidade for voltada para cima, o vértice será o ponto de mínimo absoluto da função.
Se a concavidade for voltada para baixo, o vértice será o ponto de máximo absoluto da função.
As coordenadas do vértice são dadas por:

Portanto, o vértice é o ponto:

Observe os exemplos seguintes que ilustram diversas situações que utilizam esses conceitos.

Exemplo 1. Determine as coordenadas do vértice de cada função e diga se ele é ponto de máximo ou mínimo absoluto da função.

a) f(x) = 2x² – 3x + 1
Solução: Temos que a = 2, b = – 3 e c = 1. Segue que:

Portanto, o vértice é o ponto de coordenadas:

Como a = 2 > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima, LOGO, o vértice é o ponto de mínimo absoluto da função.
b) y = – x² + 5x – 4
Solução: Temos que a = – 1, b = 5 e c = 0 – 4. Segue que:

Assim, o vértice é o ponto de coordenadas:

Como a = – 1 < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo, LOGO, o vértice é o ponto de máximo absoluto da função.

c) f(x) = x² + 8x + 16
Solução: Temos que a = 1, b = 8 e c = 16. Segue que:

Portanto, o vértice é o ponto de coordenadas: V(-4,0)

Como a = 1 > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Assim, o vértice é considerado o ponto de mínimo absoluto da função.

Exemplo 2. O lucro, em reais, de uma empresa na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = – 2x² + 300x – 16, onde L(x) é o lucro e x representa a quantidade de produtos vendidos.
Determine o lucro máximo obtido pela empresa na venda desse produto.

Solução: Observando a função L(x) = – 2x² + 300x – 16, obtemos a = – 2, b = 300 e c = – 16. Como a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função apresenta ponto de máximo absoluto. Para obtermos o lucro máximo da fábrica precisamos calcular o YV da função. Assim, teremos:

Portanto, o lucro máximo da empresa será de R$ 11234, 00.
Marcelo Rigonatto