CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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extraído do http://jmp25.blogspot.com

DIVISIBILIDADE, NUMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Vamos estudar algumas regras que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número é divisivel por outro. Essas regras são chamadas critérios de divisibilidade.

1. a) Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando termina em 0,2,4,6 ou 8 isto é quando é um número par.

Exemplos

6. a) 536 é divisível por 2 pois termina em 6.
7. b) 243 não é divisível por 2 pois termina em 3

EXERCICIOS

1) Quais desses números são divisíveis por 2 ?

1. a) 43
2. b) 58 (X)
3. c) 62 (X)
4. d) 93
5. e) 106 (X)f) 688 (X)g) 981
6. h) 1000 (X)i) 3214 (X)j) 6847
7. l) 14649
8. m) 211116 (X)n) 240377
9. o) 800001
10. p) 647731350 (X)

1. b) Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplos

1. a) 267 é divisível por 3 porque a soma:

2 + 6 + 7 = 15 é divisível por 3.

1. b) 2538 é divisível por 3, porque a soma:

2 + 5 + 3 + 8 = 18 é divisível por 3.

1. c) 1342 não é divisível por 3, porque a soma:

1 + 3 + 4 + 2 = 10 não é divisível por 3

EXERCICIOS

1) Quais desses números são divisíveis por 3?

1. a) 72 (X)
2. b) 83
3. c) 58
4. d) 96 (X)
5. e) 123 (X)f) 431
6. g) 583
7. h) 609 (X)i) 1111
8. j) 1375
9. l) 1272 (X)
10. m) 4932 (X)
11. n) 251463 (X)o) 1040511 (X)
12. p) 8000240
13. q) 7112610 (X)
14. c) Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando os dois ultimos algarismos forem zero ou formarem um número divisível por 4.

exemplos

1. a) 500 é divisível por 4 porque seus dois últimos algarismos são zero
2. b) 732 é divisível por 4 porque o número 32 é divisível por 4
3. c) 813 não é divisível por 4 porque 13 não é divisível por 4

EXERCICIOS

1) Quais desses números são divisiveis por 4?

1. a) 200 (X)
2. b) 323
3. c) 832 (X)
4. d) 918
5. e) 1020 (X)
6. f) 3725
7. g) 4636 (X)
8. h) 7812 (X)
9. i) 19012 (X)
10. j) 24714
11. l) 31433
12. m) 58347
13. n) 1520648 (X)o) 3408549
14. p) 5331122
15. q) 2000008 (X)

1. d) Divisibilidade po 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

exemplos

1. a) 780 é divisível por 5 porque termina em 0.
2. b) 935 é divisível por 5 porque termina em 5.
3. c) 418 não é divisível por 5 porque não termina em 0 ou 5.

Exercícios

1) Quais desses números são divisíveis por 5?

1. a) 83
2. b) 45 (X)c) 678
3. d) 840 (X)e) 1720 (X)
4. f) 1089
5. g) 2643
6. h) 4735 (X)
7. i) 2643
8. j) 8310 (X)l) 7642
9. m) 12315 (X)
10. n) 471185 (X)
11. o) 648933
12. p) 400040 (X)
13. q) 3821665 (X)
14. e) Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 por 3.

Exemplos

3. a) 312 é divisível por 6 poque é divisível por 2 e por 3.
4. b) 724 não é divisível por 6 pois é divisível por 2, mas não é por 3.

exercícios

1) Quais destes números são divisíveis por 6?

1. a) 126 (X)
2. b) 452
3. c) 831
4. d) 942 (X)
5. e) 1236 (X)
6. f) 3450 (X)
7. g) 2674
8. h) 7116 (X)
9. i) 10008 (X)
10. j) 12144 (X)
11. l) 12600 (X)
12. m) 51040 (X)
13. n) 521125
14. o) 110250 (X)
15. p) 469101
16. q) 4000002 (X)

1. f) Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

exemplo

1. a) 2538 é divisível por 9 porque a soma

2 + 5 + 3 + 8 = 18 é divisível por 9

1. b) 7562 não é divisível por 9 porque a soma

7 + 5 + 6 + 2 = 20 não é divisível por 9

exercícios

1) Quais desses números são divisíveis por 9?

1. a) 504 (X)
2. b) 720 (X)
3. c) 428
4. d) 818
5. e) 3169
6. f) 8856
7. g) 4444
8. h) 9108 (X)
9. i) 29133 (X)
10. j) 36199
11. l) 72618
12. m) 98793 (X)
13. n) 591218
14. o) 903402 (X)
15. p) 174150 (X)
16. q) 2000601 (X)

1. g) Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

exemplos

1. a) 1870 é divisível por 10 porque termina em zero
2. b) 5384 não é divisível por 10 porque não termina em zero.

exercícios

1) Quais destes números são divisíveis por 10?

1. a) 482
2. b) 520 (X)
3. c) 655
4. d) 880 (X)
5. e) 1670 (X)
6. f) 1829
7. g) 3687
8. h) 8730 (X)
9. i) 41110 (X)
10. j) 29490 (X)
11. l) 34002
12. m) 78146
13. n) 643280 (X)
14. o) 128456
15. p) 890005
16. q) 492370 (X)

RESUMO

Um número é divisível por:

2 quando termina em 0,2,4,6 ou 8 isto é quando é par

3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por 4

5 quando termina em 0 ou 5

6 quando é divisível por 2 e por 3

9 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9

10 quando termina em 0

EXERCÍCIOS

1) Qual número é divisível por 4 e 9?

1. a) 1278
2. b) 5819
3. c) 5336
4. d) 2556 (X)

2) Qual o número é divisível por 2,3 e 5

1. a) 160
2. b) 180 (X)
3. c) 225
4. d) 230

3)

NÚMEROS PRIMOS

Os números que admitem apenas dois divisores (ele próprio e 1 ) são chamados de números primos.

exemplos

1. a) 2 é um número primo, pois D2 = { 1,2}
2. b) 3 é um número primo, pois D3 = { 1,3}
3. c) 5 é um número primo, pois D5 = { 1,5}
4. d) 7 é um número primo, pois D7 = { 1,7}
5. e) 11 é um número primo, pois D11 = { 1, 11}

O conjunto dos números primos é infinito

P = { 2,3,5,7,11,13,17,19,….}

NÚMEROS COMPOSTOS

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos

EXEMPLOS

1. a) 4 é um número composto, pois D4 = { 1,2,4}
2. b) 6 é um número composto, pois D6 = { 1,2,3,6}
3. c) 8 é um número composto, pois D8 = { 1,2,4,8}

EXERCICIO

1) Classifique cada número como “primo ou composto”

1. a) 20
2. b) 21
3. c) 22
4. d) 23
5. e) 24
6. f) 25
7. g) 26
8. h) 27
9. i) 28
10. j) 29

DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS

Um número composto pode ser indicado como um produto de fatores primos, ou melhor, um número pode ser fatorado

exemplo

140 I 2

070 I 2

035 I 5007 I 7001

procedimentos

Escrevemos o número à esquerda de uma barra vertical.

Dividimos o número (140) pelo menor número primo possível. Neste caso, é o 2 .

Voltamos a dividir o quociente, que é 70 , pelo menor número primo possível, sendo novamente 2

O processo é repitindo até que o quociente seja 1

outros exemplos

1. a) decompor em fatores primos o número 72

72 I 2

36 I 2

18 I 2

09 I 3

03 I 3

01

1. b) Decompor em fatores primos o número 525

525 I 3

175 I 5

035 I 5

007 I 7

001

EXERCICIOS

1) Decomponha em fatores primos os seguintes números

1. a) 28
2. b) 30
3. c) 32
4. d) 36
5. e) 40
6. f) 45
7. g) 60
8. h) 80
9. i) 120

j)125

1. l) 135
2. m) 250

2) Decomponha em fatores primos os seguintes números

1. a) 180
2. b) 220
3. c) 320
4. d) 308
5. e) 605
6. f) 616
7. g) 1008
8. h) 1210
9. i) 2058
10. j) 3125
11. l) 4225
12. m) 5040

3) Decomponha os números em fatores primos

1. a) 144
2. b) 315
3. c) 440
4. d) 312
5. e) 360
6. f) 500
7. g) 588
8. h) 680
9. i) 1458
10. j) 3150
11. l) 9240
12. m) 8450