Circunferência

Geometria Analítica: Circunferência

Equações da circunferência
Equação reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(d_CP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x – a)² + (y – b)² =r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .

Equação geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

( x – 2 )² +( y + 3 )² = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.

Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

• os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
• não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x² + y² – 6x + 2y – 6 = 0.

Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:

• 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente

x² – 6x + _ + y² + 2y + _ = 6

• 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

• 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

( x – 3 ) ² + ( y + 1 ) ² = 16

• 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Em relação à circunferência de equação ( x – a )² + ( y – b )² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência

Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x – a )² + ( y – b )² – r²:

• se ( m – a)² + ( n – b)² – r² > 0, então P é exterior à circunferência;
• se ( m – a)² + ( n – b)² – r² = 0, então P pertence à circunferência;
• se ( m – a)² + ( n – b)² – r² <>P é interior à circunferência.

  Posição de uma reta em relação a uma circunferência
  Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x – a)² + ( y – b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e :

  
  

  Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :
  (x – a)² + ( y – b )² = r², temos:

  

  Assim:

  
  
• Condições de tangência entre reta e circunferência
  Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:
  a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P
  
  b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P
  
  c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P
  
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