Sistema por Cramer

Resolvendo sistemas

Sabemos que sistema linear é um conjunto de n equações lineares com n incógnitas relacionadas entre si. A solução de um sistema linear pode ser obtida de várias maneiras. Veremos uma das formas de resolução de um sistema utilizando a regra de Cramer.

Todo sistema linear pode ser associado a uma matriz envolvendo os coeficientes numéricos e a parte literal. Por exemplo, considere o seguinte sistema linear:

Sua representação matricial dos coeficientes das incógnitas é (matriz incompleta):

Já a representação matricial completa do sistema, levando em consideração somente os coeficientes numéricos, é:

Todo o sistema pode ser representado matricialmente da seguinte forma:

Diante da relação existente entre um sistema linear e uma matriz, Cramer desenvolveu um método de resolução de sistemas envolvendo as propriedades das matrizes e dos determinantes.

A regra de Cramer diz que: os valores das incógnitas de um sistema linear são dados por frações cujo denominador é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas após a substituição de cada coluna pela coluna que representa os termos independentes do sistema.

Vejamos um exemplo para melhor compreensão da regra de Cramer.

Exemplo: Encontre a solução do sistema abaixo utilizando a regra de Cramer.

Solução: Primeiro, devemos escrever a matriz que representa os coeficientes das incógnitas e obter seu determinante.

Em seguida, devemos excluir a primeira coluna da matriz dos coeficientes das incógnitas e substituí-la pelos termos independentes do sistema 12, 12 e – 16, e calcular o determinante.

Agora, fazemos o mesmo com a segunda coluna da matriz dos coeficientes das incógnitas.

Calculando o determinante dessa matriz, obtemos:

Repetindo o mesmo procedimento para a terceira coluna da matriz dos coeficientes das incógnitas, obtemos:

Fazendo o cálculo do determinante, teremos:

Segundo a regra de Cramer, temos que:

Assim, o conjunto solução do sistema é S = {(3, 4, 5)}.

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