Função quadratica

Chamamos de função quadratica, a famosa função do segundo grau. Ela é uma função polinomial da forma:
f(x) = ax² + bx + c
Quando igualada a função a zero, o resultado é uma equação quadrática.
ax² + bx + c = 0
As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função (a parábola) com o eixo x.
Quanto as raizes:
O número das raizes depende do \Delta = b^2 - 4 a c\,  (delta), observe:
  • Se \Delta > 0\, \!, teremos duas raizes distintas.
  • Se  \Delta = 0\, \!, teremos apenas uma raiz (diz-se que a equação tem duas raízes iguais)
  • Se  \Delta < 0\, \!, não teremos raiz
Agora que você já sabe o delta podemos prosseguir para encontrar nossas raizes. Temos então ax²+bx+c= 0 onde a \ne 0 \,\! , o proximo passo é saber como usar a fórmula de Bhaskara:
Quanto as raizes existe outro meio de acha-las além da formula de bhaskara, por Soma e Produto (x² – Sx + P = 0). Observe:
Soma: – b/a      Produto: c/a
exemplo: x² + 9x + 14 = 0 (resolvendo por soma e produto)
S: -b/a = -9/1 = -9                 P: c/a = 14/1 = 14
Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:

7 e 2 S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14

–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14

7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14

–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14

Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.

Quanto ao grafico (Parábola):
Para podermos construir a nossa parábola devemos saber para onde sua concavidade esta voltada.
  • Se a > 0 sua concavidade é voltada pra cima
  • Se a < 0 sua concavidade é voltada pra baixo
Vertice: O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:
(X vertice= -\frac{b}{2a}, Y vertice= -\frac {\Delta}{4a})
Estudo de sinaisConsideramos uma função quadrática  f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Temos que considerar 3 casos, veja:
1º Caso:  \Delta > 0\, \!
Nesse caso a função quadrática admite duas raizes reais distintos (x1  x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos.
quando a > 0
y > 0 (x < x1 ou x > x2)
y < 0 x1 < x < x2
 
quando a < 0
y > 0 x1 < x < x2
y < 0  (x < x1 ou x > x2)
2º Caso: \Delta < 0\,\! 
 
 
                                                                 quando a > 0
quando a < 0
3º Caso: \Delta = 0\, \!
quando a > 0
 
quando a < 0
 

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